Conţinut

• Pași
• Întrebări și răspunsuri comunitare
• sfaturi

Alte secțiuni

În lumea matematicii, algebra este subiectul cel mai dominant. Cu toții ar trebui să știm (x + y), care este egal cu: x + 2xy + y. Ar trebui să știm și (x + y). Dar ce zici de (x + y) sau (x + y)?

Pași

1. 

   Pe o bucată de hârtie goală, desenați triunghiul lui Pascal, cu un spațiu rezervat în dreapta. Desenați triunghiul până la cel puțin 5 rânduri.

2. 

   
   
   În dreapta fiecărui rând al triunghiului lui Pascal, scrieți (x + y).

3. 

   
   
   Acum, luați puterea lui n, n + 1, n + 2... pe (x + y). Cu alte cuvinte, începeți cu (x + y), apoi (x + y), (x + y). Notați puterile.
   • N la puterea lui 0 este întotdeauna 1. Aceasta înseamnă (x + y) este 1.
   • De asemenea, (x + y) este pur și simplu (x + y).

4. 

   
   
   Dacă puteți vedea din triunghiul lui Pascal, primul 1 reprezintă (x + y), cu 1 ca 0.

5. 

   Următorul rând al triunghiului lui Pascal, (1, 1) reprezintă (x + y), cu primul 1 ca coeficient al lui x și al doilea ca coeficient al lui y.

6. 

   Următorul rând al triunghiului lui Pascal, (1, 2, 1) reprezintă (x + y), primul 1 fiind coeficientul lui x, al doilea ca coeficient al lui 2xy și al treilea ca coeficient al lui y.

7. 

   Confuz? În termeni matematici, pentru fiecare 1 pe care îl vedeți, cu excepția primei linii, acesta va reprezenta fie coeficienții lui x, fie y. O sa mereu aveți cea mai mare putere utilizată în (x + y), care este N.
   • Numerele dintr-o linie din triunghiul lui Pascal se vor referi la coeficienții fiecărui termen, cantitatea numărului dintr-o linie referindu-se la suma totală a termenilor legați de (x + y).

8. 

   Fiecare putere pe termen x va scădea peste termeni, cum ar fi: x, apoi x, apoi x și apoi 1: care reprezintă NIL în acest proces.

9. 

   Fiecare putere pe termen y va crește peste termeni, cum ar fi: , 1: care reprezintă NIL în acest proces, y, apoi y, apoi y.
   • Exemplu: (x + y)
   • Deoarece puterea (n) = 4, ar trebui să aruncăm o privire la al cincilea rând (n + 1) al triunghiului Pascal. Astfel, rândul (n + 1 = 5) al triunghiului Pascal este:
     14641
   • Prin urmare, 14641 reprezintă coeficienții termenilor lui x & y după expansiunea lui (x + y).
   • Răspunsul: x + 4xy + 6xy + 4xy + y

Întrebări și răspunsuri comunitare

Cum puteți găsi valoarea lui (x ^ 3 + y) ^ 4 =?

Acest lucru pare aproape imposibil, dar nu este greu, dacă începeți cu o simplă înlocuire. Uită-te la termenii din paranteze. Să redenumim A = x ^ 3 și B = y. Apoi putem rescrie această expresie ca doar (A + B) ^ 4. Acum, folosind Triunghiul lui Pascal, acest lucru este destul de simplu. Găsiți al patrulea rând al Triunghiului lui Pascal, care este 1-4-6-4-1. Aceste numere furnizează coeficienții soluției dvs., care va arăta ca 1___ +4 ____ + 6 ____ + 4 ____ + 1____. Acum trebuie doar să ne dăm seama ce se întâmplă în aceste spații goale. Amintiți-vă (din articolul de mai sus) că fiecare gol este produsul termenilor binomiali A și B. Exponenții pentru A încep la 4 și numără în jos până la 0 pe măsură ce mergeți de la stânga la dreapta. Exponenții pentru B încep de la 0 și numără până la 4 pe măsură ce mergeți de la stânga la dreapta. Deci, primul termen al soluției dvs. va fi 1 (A ^ 4) (B ^ 0). Am scris termenul B ^ 0 pentru a arăta soluția, dar amintiți-vă că orice crește puterea ^ 0 este doar 1, deci acest lucru va dispărea în esență. Al doilea termen va fi (4) (A ^ 3) (B ^ 1). Al treilea termen va fi (6) (A ^ 2) (B ^ 2). Observați că acesta este punctul în care exponenții pentru A și B sunt egali. Acum continuați. Al patrulea termen va fi (4) (A ^ 1) (B ^ 3). Termenul final va fi (1) (A ^ 0) (B ^ 4). Combinați acești termeni individuali și lăsați exponenții ^ 0 și veți avea rezultatul A ^ 4 + 4 (A ^ 3) (B) +6 (A ^ 2) (B ^ 2) +4 (A) (B ^ 3) + B ^ 4. Acum trebuie doar să lucrați înapoi și să înlocuiți A și B cu valorile originale A = x ^ 3 și B = y. Comutarea B pentru y va fi ușoară. Dar pentru termenii A, trebuie să aveți grijă la exponenții exponenților. Mai întâi, faceți înlocuirea și apoi o puteți simplifica mai târziu. Folosiți rezultatul dvs. A ^ 4 + 4 (A ^ 3) (B) +6 (A ^ 2) (B ^ 2) +4 (A) (B ^ 3) + B ^ 4, dar puneți înapoi termenii (x ^ 3) și y. Aceasta va da (x ^ 3) ^ 4 + (4) (x ^ 3) ^ 3 (y) + (6) (x ^ 3) ^ 2 (y ^ 2) + (4) (x ^ 3) ( y ^ 3) + y ^ 4. Ca ultim pas, amintiți-vă că pentru a simplifica un exponent ridicat la un alt exponent, trebuie doar să înmulțiți cele două numere împreună. Prin urmare, în primul termen, (x ^ 3) ^ 4, doar înmulțiți 3 * 4 și veți avea x ^ 12. Faceți acest lucru pentru fiecare termen, iar rezultatul dvs. se simplifică la (x ^ 12) + (4x ^ 9) (y) + (6x ^ 6) (y ^ 2) +4 (x ^ 3) (y ^ 3) + y ^ 4. Aceasta este soluția dvs. finală.

Cum se formează fiecare rând nou?

Triunghiul lui Pascal este minunat de simplu și minunat de puternic. Începeți doar prin a scrie un 1 ca vârf de sus al triunghiului. Apoi scrieți două 1 în rândul următor. Asta lasă un spațiu în mijloc, în decalajul dintre cele două 1 ale rândului de mai sus. Pentru a umple golul, adăugați cele două 1. Suma este 2. Prin urmare, al treilea rând este 1-2-1. Pentru rândul următor, începeți cu un 1 și, din nou, completați golurile din mijloc cu suma numerelor din rândul de mai sus. Deci, sub 1-2, scrieți suma, 3. Sub 2-1, scrieți suma, care este și 3. Apoi încheiați rândul cu încă 1. Deci, acest rând complet este 1-3-3-1. Următorul rând va fi 1-4-6-4-1. Pe măsură ce continuați, ar trebui să observați că fiecare rând este simetric de la jumătatea stângă la jumătatea dreaptă. Dacă nu vedeți această simetrie, atunci ați făcut ceva greșit.

Cum găsesc rădăcina puiului 27a ^ 3 + 54a ^ 2b + 36ab ^ 2 + 8b ^ 3?

Presupunând că are o rădăcină cub polinomială, ar putea fi doar (3a + 2b) ^ 3. Aceasta este singura modalitate de a obține termenii puri 27a ^ 3 și 8b ^ 3. Dar să verificăm coeficienții de mijloc pentru a fi siguri. Al treilea rând al triunghiului lui Pascal este (1,3,3,1). Deci, al doilea termen ar trebui să fie 3 * (3a) ^ 2 * (2b) = 54a ^ 2b, iar al treilea este 3 * (3a) * (2b) ^ 2 = 36ab ^ 2.

sfaturi

• Dacă aveți (x + y), care este o putere foarte mare, luați în considerare găsirea unei legi care să vă permită să calculați linia 325456 + 1 (325457th) a triunghiului Pascal.
• Practica este perfectă.
• Este bine ca primele 6 rânduri ale triunghiului Pascal să fie memorate.
• Probleme similare pot fi, de asemenea, rezolvate cu ajutorul combinației și teoremei binomiale.
• -Această metodă este mai frecvent cunoscută sub numele de expansiune binomială
• -Puteți utiliza butonul nor de pe un calculator științific ca înlocuitor pentru scrierea triunghiului pascals, unde n este puterea (de la (x + y) ^ n) și r crește cu 1 de fiecare dată începând cu 0