Conţinut

• paşi
• sfaturi

Matematicienii și programatorii grafici trebuie adesea să găsească unghiul dintre doi vectori. Din fericire, formula folosită pentru calcularea acestui unghi nu necesită nimic altceva decât un simplu produs scalar. Deși raționamentul din spatele acestei formule este mai ușor de înțeles atunci când folosiți vectori bidimensionali, putem adapta cu ușurință vectorii cu orice număr de componente.

paşi

Partea 1 din 2: Calculați unghiul dintre doi vectori

1. 

   Identificați cei doi vectori. Scrieți toate informațiile cunoscute despre cei doi vectori. În scopul acestui tutorial, vom presupune că cunoașteți vectorii doar în ceea ce privește coordonatele lor dimensionale (numite și ele) componente). Dacă știți deja modul sau standard dintre acești vectori (adică lungimea lor), puteți săriți o parte din pașii de mai jos.
   • Exemplu: vom lua în considerare vectorii bidimensionali = (2,2) și = (0,3). Acești doi vectori pot fi rescriși ca = 2eu + 2j e = 0eu + 3j = 3j.
   • Deși exemplul nostru folosește doi vectori bidimensionali, putem aplica următoarele instrucțiuni la vectori cu orice număr de componente.

2. 

   
   
   Scrie formula cosinusului. Pentru a găsi valoarea unghiului θ între oricare doi vectori, trebuie mai întâi să calculăm cosinele acelui unghi. Puteți căuta și afla formula în detaliu sau pur și simplu scrieți-o așa cum este mai jos:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| reprezintă modul (sau lungimea) vectorului ".
   • • reprezintă produs scalar (sau produsul intern) al celor doi vectori.

3. 

   
   
   Calculați modulul fiecărui vector. Imaginează-ți un triunghi drept format din componentă X a unui vector, componenta sa y și vectorul în sine. În acest triunghi, vectorul joacă rolul ipotenuzei; prin urmare, pentru a găsi lungimea sa, vom aplica teorema pitagoreică. Drept urmare, această formulă se aplică cu ușurință vectorilor cu orice număr de componente.
   • || u || = u₁ + u₂. Dacă vectorul are mai mult de două componente, continuați să adăugați + u₃ + u₄ +...
   • Prin urmare, pentru un vector bidimensional, va trebui să || u || = √ (u₁ + u₂).
   • În exemplul nostru, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Calculați produsul scalar între cei doi vectori. Ar trebui să știți deja metoda de înmulțire a vectorilor, numită și produs scalar. Pentru a calcula produsul scalar al doi vectori în ceea ce privește componentele acestora, înmulțim componentele în aceeași direcție unele cu altele și apoi adăugăm rezultatele acelor produse.
   • Dacă lucrați cu programe de grafică pentru computer, vizitați mai întâi secțiunea „Sfaturi” înainte de a continua.
   • În termeni matematici, • = u₁v₁ + u₂v₂, unde u = (u₁, u₂). Dacă vectorul dvs. are mai mult de două componente, continuați să adăugați + u₃v₃ + u₄v₄...
   • În exemplul nostru, • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Aceasta este valoarea produsului scalar între vectori și.

5. 

   Înlocuiți aceste rezultate în formula cosinusului. Amintiți-vă, cosθ = (•) / (|||| || ||). Am calculat deja produsul scalar și modulul celor doi vectori. Acum, să înlocuim aceste valori în formulă și să calculăm cosinusul unghiului.
   • În exemplul nostru, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Găsiți unghiul bazat pe cosinusul dvs.
   Utilizați funcția arc sau cos a calculatorului pentru a determina unghiul θ față de valoarea cosinului. În unele cazuri, este posibil să puteți găsi valoarea unghiului bazată pe cercul unității.
   • În exemplul nostru, cosθ = √2 / 2. Introduceți „arccos (√2 ​​/ 2)” în calculatorul dvs. pentru a găsi unghiul. O altă opțiune este să căutați unghiul θ al cercului unitar unde cosθ = √2 / 2: acest lucru va fi adevărat pentru θ = /₄ sau 45 °.
   • Completând toate informațiile, vom avea formula finală θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))

Partea 2 din 2: Definirea formulei pentru calculul unghiului

1. 

   Înțelegeți scopul formulei. Formula pe care am folosit-o pentru a calcula unghiul dintre doi vectori nu a derivat din regulile preexistente; în schimb, a fost creat ca o definiție a produsului scalar între doi vectori și unghiul dintre ei. Cu toate acestea, această decizie nu este arbitrară. Cu o privire mai atentă la geometria de bază, putem vedea de ce această formulă are ca rezultat definiții atât de utile și intuitive.
   • Următoarele exemple folosesc vectori bidimensionali, deoarece sunt tipul cel mai intuitiv cu care să lucrezi. Vectori cu trei sau mai multe dimensiuni au proprietățile lor definite din formula generală (de asemenea, într-un mod foarte similar).

2. 

   Examinați legea cosinusului. În orice triunghi, luați în considerare unghiul θ format din laturi și B iar partea ç opus unghiului respectiv. Conform legii cosinusului, c = a + b -2abbetelie(Θ). Demonstrația acestei formule poate fi obținută cu ușurință din cunoștințele de geometrie de bază.

3. 

   Conectați cei doi vectori pentru a forma un triunghi. Desenați o pereche de vectori și, cu un unghi θ între ei. Apoi, desenați un al treilea vector între ele pentru a forma un triunghi. Cu alte cuvinte, desenează vectorul astfel încât + =, sau pur și simplu = -.

4. 

   Aplicați legea cosinusului pe acest triunghi. Înlocuiți lungimea laturilor părții noastre triunghi vectorial (adică modulul vectorial) în formula legii cosinusului:
   • || (a - b) || = || a || + || b || || - 2 || a || || b || ||betelie(θ)

5. 

   Rescrie formula folosind produse scalare. Nu uitați că produsul punct este mărirea unui vector proiectat pe altul. Produsul scalar al unui vector în sine nu necesită proiecție, deoarece nu există nicio schimbare de direcție. Aceasta înseamnă că • = || a || Pe baza acestor informații, să rescriem ecuația legii cosinusului:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b || ||betelie(θ)

6. 

   Simplificați formula. Extindeți produsele din partea stângă a ecuației și apoi simplificați-o până ajungeți la formula pe care o știm pentru calculul unghiurilor.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b || ||betelie(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b || ||betelie(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b || ||betelie(θ)
   • • = || a || || b || ||betelie(θ)

sfaturi

• Pentru o rezoluție rapidă, aplicați următoarea formulă oricărei perechi de vector bidimensionale: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Dacă lucrați cu programe de grafică computerizată, cel mai probabil va trebui să știți doar direcția vectorilor, nu și lungimea acestora. Urmați pașii de mai jos pentru a simplifica ecuațiile și a accelera programul:
  • Normalizați fiecare vector, adică găsiți vectorul de unitate care are aceeași direcție cu vectorul inițial. Pentru a face acest lucru, împărțiți fiecare componentă a vectorului în modulul vectorial.
  • Calculați produsul scalar al vectorilor normalizați, nu vectori originali.
  • Deoarece modulul (adică lungimea) vectorilor normalizați este unitar, îi putem lăsa în afara formulei. Ecuația dvs. finală pentru calculul unghiurilor va fi de arcuri (•).
• Pe baza formulei legii cosinusului, putem afla rapid dacă unghiul în cauză este acut sau obtuz. Începeți cu cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Partea stângă și cea dreaptă a ecuației trebuie să aibă același semn (pozitiv sau negativ).
  • Deoarece lungimile sunt întotdeauna pozitive, cosθ va avea întotdeauna același semn ca produsul scalar.
  • Prin urmare, dacă produsul scalar este pozitiv, cosθ va fi pozitiv. Aceasta înseamnă că unghiul se află în primul cadran al cercului unitar, adică θ <π / 2 sau 90 °. Prin urmare, unghiul este acut.
  • Dacă produsul scalar este negativ, cosθ este negativ. Aceasta înseamnă că unghiul se află în cel de-al doilea cadran al cercului unitar, adică π / 2 <θ ≤ π sau 90 ° <θ ≤ 180 °. Prin urmare, unghiul este obtuz.