3 moduri de a calcula rădăcina cubică manual - Enciclopedie

Conţinut

Pași
sfaturi
Avertizări
Materiale necesare

Cu un calculator, găsirea rădăcinii cubice a unui număr este la doar câteva clicuri distanță. Cu toate acestea, este posibil să nu aveți un calculator la îndemână sau doriți doar să impresionați prietenii cu capacitatea de a face acest lucru. Există un proces care, la început, pare laborios, dar care devine ușor cu practica. Va fi util să ne amintim câteva concepte matematice și algebrice de bază despre numerele cubice.

Pași

Metoda 1 din 3: Lucrul cu o problemă convențională de rădăcină cubică

Notați problema. Calculul rădăcinii cubice a unui număr va fi practic ca rezolvarea unei probleme de diviziune lungă, cu unele diferențe speciale. Primul pas este configurarea problemei în formatul corespunzător.
- Scrieți numărul a cărui rădăcină cubă va fi calculată. Notați cifrele în grupuri de trei, folosind punctul zecimal ca punct de plecare. În acest exemplu, veți găsi rădăcina cubică a lui 10. Scrieți-o ca 10 000 000. Zerourile suplimentare sunt utilizate pentru a da precizie calculului.
- Faceți un semn rădăcină cub peste număr. Acesta are același scop ca și linia de separare, singura diferență fiind forma simbolului.
- Plasați un punct zecimal pe linie, direct deasupra punctului zecimal al numărului.
Descoperiți cuburile numerice dintr-o singură cifră. Ar trebui să-l utilizați în calcule. Acestea sunt după cum urmează:
Găsiți prima cifră a soluției. Alegeți numărul care, când este ridicat la cub, se apropie cel mai mult de numărul original.
- În acest exemplu, primul dintre cele trei numere este 10. Găsiți cel mai mare cub perfect care se apropie de 10. Această valoare este egală cu 8, iar rădăcina cubului va fi egală cu 2.
- Scrieți numărul 2 pe linia radicală, deasupra numărului 10. Scrieți valoarea lui, care este 8, sub numărul 10, trageți linia și faceți scăderea, așa cum se face într-o împărțire lungă. Rezultatul va fi 2.
- După scădere, veți avea prima cifră a soluției. Este necesar să se decidă dacă reprezintă un rezultat suficient de precis, ceea ce, în majoritatea cazurilor, nu va fi cazul. Puteți verifica răspunsul prin cub această cifră și puteți decide dacă rezultatul este suficient de apropiat de cel dorit. Aici, deoarece este egal cu 8 și nu foarte aproape de 10, trebuie să continuați.
Pregătește-te să găsești următoarea cifră. Copiați următorul grup de trei numere de mai jos și trasați o mică linie verticală la stânga valorii rezultate. Acesta va fi numărul de bază pentru găsirea următoarei cifre în soluția rădăcină cubică. În acest exemplu, veți avea numărul 2000, format din 2 rezultat din scăderea anterioară împreună cu grupul de trei zerouri care au coborât.
- În stânga liniei verticale, veți rezolva următorul divizor ca suma a trei numere separate. Faceți spații pentru aceste numere cu trei puncte de subliniere și trei semne plus între ele.
Găsiți începutul următorului divizor. Pentru prima parte a divizorului, scrieți de 300 de ori pătratul numărului care se află deasupra radicalului. În acest caz, deoarece este 2 și 2 este egal cu 4, avem 4 * 300 = 1200. Tastați 1200 în primul spațiu. Divizorul pentru acest pas al soluției va fi 1200 plus ceva ce se va găsi mai jos.
Găsiți numărul următor în soluția rădăcină cubică. Găsiți următoarea cifră a soluției alegând ceea ce poate fi înmulțit cu divizorul, care este 1200 și câțiva și scăzut din restul de 2000. Această valoare poate fi doar 1, deoarece de 2 ori 1200 este egal cu 2400, o valoare mai mare decât 2000. Scrieți numărul 1 în spațiul următor deasupra radicalului.
Determinați restul divizorului. Divizorul pentru această etapă a soluției este alcătuit din trei părți. Prima parte reprezintă cei 1200 pe care îi aveți deja. Va trebui să adăugați doi termeni pentru a completa divizorul.
- Acum, calculați de 3 ori 10 pentru fiecare dintre cele două cifre din soluția de deasupra radicalului. În acest exemplu, aceasta înseamnă 3 * 10 * 2 * 1, care este 60. Adăugați rezultatul la 1200 deja prezente pentru a rezulta 1260.
- În cele din urmă, adăugați pătratul ultimei cifre. În acest exemplu, acel număr este 1 și 1 este încă egal cu 1. Prin urmare, divizorul total este egal cu 1200 + 60 + 1 sau 1261. Scrieți acea valoare în stânga liniei verticale.
Înmulțiți și scădeți. Completați această parte a soluției înmulțind ultima cifră - în acest caz, 1 - cu divizorul nou calculat, 1261. 1 * 1261 = 1261. Scrieți acest răspuns mai jos de 2000 și efectuați scăderea, ceea ce va duce la 739.
Decideți dacă doriți să continuați pentru o precizie mai mare. După finalizarea scăderii fiecărui pas, trebuie să vă gândiți dacă răspunsul este suficient de corect. În ceea ce privește rădăcina cubică a lui 10, după prima scădere, am găsit doar 2, ceea ce nu este o valoare foarte exactă. Acum, după o a doua parte, avem soluția 2.1.
- Puteți verifica această precizie înmulțind 2.1 * 2.1 * 2.1. Rezultatul va fi egal cu 9.261.
- Dacă credeți că rezultatul este suficient de corect, vă puteți opri aici. Dacă doriți ceva mai precis, citiți înainte pentru a înțelege cealaltă parte.
Găsiți separatorul pentru secțiunea următoare. În acest caz, pentru un răspuns mai practic și mai precis, repetați pașii după cum urmează:
- Derulați în jos la următorul grup de trei cifre. În acest caz, există trei zerouri, care vor însoți numărul 739 pentru a rezulta 739000.
- Calculați divizorul înmulțind de 300 de ori pătratul numărului care se află deasupra radicalului. Acest lucru este echivalent cu, egal cu 132300.
- Selectați următoarea cifră a soluției pentru a o multiplica cu 132300 și pentru a avea încă ceva mai puțin de 739000. O opțiune bună ar fi numărul 5, deoarece 5 * 132300 = 661500. Scrieți cifra 5 în spațiul următor de mai sus radicalul.
- Calculați de 3 ori numărul anterior de pe tulpină, 21, de ultima cifră scrisă, de 5, de 10. Rezultă.
- În cele din urmă, pătrat ultimul număr. Acest lucru are ca rezultat.
- Adăugați părțile divizor pentru a obține 132300 + 3.150 + 25 = 135475.
Înmulțiți divizorul cu valoarea soluției. După ce ați calculat divizorul următoarei secțiuni și ați extins soluția cu o cifră, faceți următoarele:
- Înmulțiți divizorul cu ultima cifră a soluției. 135475 * 5 = 677375.
- Faceți scăderea. 739000 - 677375 = 61625.
- Decideți dacă soluția 2.15 este suficient de precisă. Ridicați-l la cub pentru a obține.
Scrie răspunsul final. Rezultatul de deasupra radicalului este rădăcina cubului, exactă în acel moment cu trei zecimale. În acest exemplu, rădăcina cubică a lui 10 este egală cu 2,15. Confirmați că atunci când calculați 2,15 = 9,94, obțineți ceva apropiat de 10. Dacă trebuie să găsiți o acuratețe și mai mare, continuați procesul în cât de mulți pași este necesar.

Metoda 2 din 3: Găsirea rădăcinilor cubului prin estimare repetată

Utilizați numere cubice pentru a defini limitele superioare și inferioare. Dacă trebuie să cunoașteți rădăcina cubului a aproape orice număr, începeți prin alegerea unui cub perfect cât mai aproape posibil, fără a depăși obiectivul.
- De exemplu, dacă doriți să găsiți rădăcina cubului 600, amintiți-vă (sau utilizați un tabel cu numere cubice) că e. Prin urmare, soluția pentru rădăcina cubică de 600 va fi între 8 și 9. Veți folosi numerele 512 și 729 ca limite superioare și inferioare ale soluției.
Estimați următoarea cifră. Prima cifră a venit din propria sa cunoaștere a numerelor cubice. Pentru a găsi următoarea, estimați câteva valori cuprinse între 0 și 9 pe baza poziției valorii dintre cele două limite.
- În exemplul de mai sus, ținta 600 este între limitele 512 și 729. Prin urmare, alegeți 5 ca cifră următoare.
Testați estimarea ridicând-o la cub. Încercați să multiplicați estimarea actuală pentru a vedea cât de aproape sunteți de obiectiv.
- În acest exemplu, înmulțiți-vă.
Ajustați estimarea după cum este necesar. După cubizarea ultimei estimări, rețineți unde rezultatul se compară cu obiectivul. Dacă rezultatul depășește ținta, va trebui să reduceți estimarea cu una sau mai multe. Cu toate acestea, dacă este sub țintă, poate fi necesar să o ridicați până când depășește obiectivul.
- De exemplu, în această problemă, depășește ținta, care este 600. Prin urmare, trebuie să reduceți estimarea la 8,4. Măriți numărul respectiv și comparați-l cu valoarea dorită. Vei găsi asta. Acest rezultat este sub țintă. Prin urmare, veți ști că rădăcina cubică a lui 600 trebuie să fie mai mare de 8,4 și mai mică de 8,5.
Estimează următoarea cifră pentru o precizie și mai mare. Trebuie să continuați acest proces de estimare a cifrelor de la 0 la 9 până când răspundeți cât de exact doriți. Pentru fiecare estimare, începeți prin observarea punctului la care ajung ultimele calcule, între limite.
- În acest exemplu, ultima secțiune a calculelor arată că while. Ținta 600 este ușor mai aproape de 592 decât de 614. Pentru următoarea estimare, alegeți un număr ușor sub jumătate între 0 și 9. O estimare bună ar fi 4, ajungând la rădăcina cubică de 8,44.
Continuați să testați estimările și să faceți ajustări. Atât cât este necesar, cubulează estimarea și observă cum se compară cu ținta. Ar trebui să găsiți valorile care sunt chiar sub și chiar deasupra obiectivului.
- În acest exemplu, rețineți că. Acest rezultat este chiar peste țintă, așa că vom testa cu 8,43. Acest lucru va avea ca rezultat. În curând, veți ști că rădăcina cubului 600 este peste 8,43 și sub 8,44.
Continuați cât este necesar până când atingeți precizia dorită. Procedați repetând pașii de estimare, comparându-i și reestimându-i atât timp cât este necesar până când soluția este la fel de precisă pe cât doriți. Rețineți că, cu fiecare zecimală, rezultatul se apropie de obiectiv.
- În exemplul rădăcinii cubice 600, folosind două zecimale, 8,43, sunteți mai puțin de 1. Dacă continuați cu a treia zecimală, veți găsi că, mai puțin de 0,1 din răspunsul final.

Metoda 3 din 3: Înțelegerea modului în care funcționează acest calcul

Examinați extinderea binomului. Pentru a înțelege de ce acest algoritm funcționează la descoperirea rădăcinii cubice, trebuie mai întâi să vă amintiți cum arată expansiunea cubică binomială. Este probabil ca acest lucru să fi fost predat într-una din lecțiile de algebră din liceu (și, dacă sunteți ca majoritatea oamenilor, ați uitat imediat). Alegeți două variabile și pentru a reprezenta numere dintr-o singură cifră. Apoi, creați binomul pentru a reprezenta un număr din două cifre.
- Folosirea termenului este ceea ce creează un număr din două cifre. Indiferent de cifra aleasă, aceasta o va plasa în coloana zecilor. De exemplu, dacă este egal cu 2 și este egal cu 6, devine 26.
Extindeți binomul într-un cub. Aici, lucrăm invers, mai întâi creăm cubul și apoi vedem de ce funcționează soluția pentru rădăcinile cubului. Trebuie să descoperim valoarea. Pentru asta, se înmulțește. Această expresie este prea lungă pentru a fi dezvoltată aici, dar rezultatul va fi.
- Pentru mai multe sfaturi, consultați acest articol.
Înțelegeți ce înseamnă algoritmul de divizare lungă. Rețineți că metoda de calcul a rădăcinii cubului funcționează ca diviziunea lungă. În el, găsiți doi factori care se înmulțesc împreună pentru a rezulta în produsul numărului de plecare. În calcul, valoarea actuală (numărul peste radical) va fi rădăcina cubului. Aceasta înseamnă că reprezintă termenul (10A + B). Deocamdată, valorile lui A și B sunt irelevante, atâta timp cât înțelegeți relația pe care o au cu răspunsul final.
Examinați versiunea extinsă. Când vă uitați la un polinom dezvoltat, veți vedea de ce funcționează algoritmul rădăcină cub. Înțelegeți că divizorul fiecărui pas al algoritmului reprezintă suma a patru termeni care trebuie calculați și adăugați împreună. Acestea sunt după cum urmează:
- Primul termen conține un multiplu de 1000. Crești numărul pentru a fi cub și vezi dacă se încadrează în limitele divizării lungi față de prima cifră. Acest lucru duce la termenul 1000A în expansiune binomială.
- Al doilea termen de expansiune binomială are coeficientul 300 (care, de fapt, vine sub formă). Amintiți-vă că atunci când calculați rădăcina cubului, prima cifră din fiecare pas este înmulțită cu 300.
- A doua cifră din fiecare etapă de calcul provine din al treilea termen al expansiunii binomiale. Acolo, puteți găsi termenul 30AB.
- Ultima cifră a fiecărui pas va fi termenul B.
Observați creșterea preciziei. Când lucrați cu algoritmul de divizare lungă, fiecare pas finalizat aduce mai multă precizie la răspuns. De exemplu, problema articolului urmărește găsirea rădăcinii cubice a 10. În primul pas, soluția este 2, deoarece este o valoare apropiată, dar mai mică de 10. De fapt ,. După un al doilea proces, veți obține rezultatul 2.1. Când faceți calculul, ceva mult mai aproape de obiectiv. După o a treia încercare, găsiți valoarea 2.15, care rezultă. Puteți continua să lucrați în grupuri de trei cifre pentru a obține cât mai multă precizie în răspuns cât este necesar.