Conţinut

• Pași
• sfaturi

Viteza este definită ca accelerarea unui obiect într-o direcție dată. În multe situații obișnuite, folosim ecuația v = s / t, unde v este egal cu viteza, s este egal cu deplasarea totală a obiectului de la punctul său de origine și t este egal cu timpul scurs. Cu toate acestea, din punct de vedere tehnic, rezultatul ecuației reprezintă doar viteza „medie” în timpul călătoriei. Cu ajutorul calculului, este posibil să găsiți viteza obiectului în orice moment al călătoriei. Aceasta se numește „viteză instantanee”, care este definită de ecuație v = (ds) / (dt), sau, cu alte cuvinte, ecuația derivatei vitezei medii a unui obiect.

Pași

Partea 1 din 3: Calcularea vitezei instantanee

1. 

   
   
   Începeți cu o ecuație pentru viteză în termeni de deplasare. Pentru a obține viteza instantanee a unui obiect, trebuie mai întâi o ecuație care să arate poziția obiectului (în termeni de deplasare) la un moment dat. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să aibă variabila s singur pe o parte și t pe de altă parte, dar nu neapărat singur, așa:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   • În această ecuație, variabilele sunt:

     Deplasare = s . Distanța parcursă de obiect de la poziția sa de plecare. De exemplu, dacă un obiect se deplasează cu 10 metri înainte și 7 metri înapoi, deplasarea totală este de 10 - 7 = 3 metri (nu 10 + 7 = 17 metri).

     Timp = t . Explicativ. De obicei măsurată în secunde.

2. 

   
   
   Calculați derivata ecuației. Derivata unei ecuații este doar o ecuație diferită care își arată curba în orice moment al timpului. Pentru a găsi derivata formulei de deplasare, diferențiați funcția cu această regulă generală pentru a găsi derivate: Dacă y = a * x, derivată = a * n * x. Această regulă se aplică fiecărui termen de pe partea ecuației care conține t.
   • Cu alte cuvinte, începeți de la partea ecuației cu t, de la stanga la dreapta. De fiecare dată când găsesc una t, scade 1 din exponent și înmulțește întregul termen cu exponentul original. Orice termeni constanți (termeni care nu conțin t) vor dispărea, deoarece sunt înmulțiți cu 0. Acest proces nu este atât de dificil pe cât pare - vezi ecuația de mai sus derivată ca exemplu:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   A inlocui s pe ds / dt. Pentru a arăta că noua ecuație este o derivată a celei anterioare, înlocuiți s cu notația ds / dt. Din punct de vedere tehnic, notația înseamnă „derivata lui s față de t”. O modalitate mai simplă de a înțelege acest lucru este să gândiți că ds / dt este doar curba pentru orice punct dat din prima ecuație. De exemplu, pentru a găsi curba liniei realizată de s = -1,5t + 10t + 4 la t = 5, trebuie doar să atribuiți 5 t în derivatul său.
   • În acest exemplu, ecuația finalizată ar trebui să arate astfel:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Atribuiți o valoare lui t în noua ecuație pentru a găsi viteza instantanee. După obținerea ecuației derivate, este ușor să găsiți viteza instantanee în orice moment al timpului. Tot ce trebuie să faceți este să alegeți o valoare pentru t și să o atribuiți ecuației derivate. De exemplu, dacă doriți să găsiți viteza instantanee cu t = 5, înlocuiți doar t cu 5 în derivata ds / dt = -3t + 10. Deci, rezolvați ecuația:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 metri / secundă

   • Rețineți că a fost utilizată unitatea de măsură metri / secundă de mai sus. Deoarece avem de-a face cu deplasarea în termeni de metri, timp în termeni de secunde, iar viteza în general este doar deplasare în timp, măsura este adecvată.

Partea 2 din 3: Estimarea vitezei instantanee pe un grafic

1. 

   Grafică deplasarea obiectului în timp. În secțiunea de mai sus, s-a menționat că derivatele nu sunt altceva decât formule care ajută la găsirea curbei în orice moment al ecuației la care se referă. De fapt, atunci când reprezintă deplasarea unui obiect cu o linie pe un grafic curba liniei la un punct dat este egală cu viteza instantanee a obiectului în acel punct.
   • Pentru a grafica, utilizați axa x pentru a reprezenta timpul și axa y pentru a reprezenta deplasarea. Apoi, distribuiți punctele atribuind valori pentru t în ecuația de deplasare, găsind valorile lui s și marcând t, s (x, y) pe grafic.
   • Rețineți că graficul se poate extinde sub axa x. Dacă linia care reprezintă mișcarea obiectului se extinde sub axa x, reprezintă obiectul care se deplasează înapoi de unde a început. De obicei, graficul nu se va extinde în spatele axei y - nu este obișnuit să se măsoare viteza obiectelor care se mișcă înapoi în timp!

2. 

   Alegeți un punct P și un punct Q lângă acesta pe linie. Pentru a găsi curba într-un punct P, se folosește un truc numit „calcularea limitei”. Calculul limitei implică alegerea a două puncte (P și Q) pe linia curbată și găsirea curbei liniei care leagă cele două puncte din nou și din nou, în timp ce distanța dintre P q Q scade.
   • Să presupunem că linia de deplasare conține punctele (1,3) și (4,7). În acest caz, dacă doriți să găsiți curba în (1,3), definiți (1,3) = P și (4.7) = Q.

3. 

   Găsiți curba dintre P și Q. Curba dintre P și Q este diferența dintre valorile y pentru P și Q față de diferența dintre valorile x pentru P și Q. Cu alte cuvinte, H = (y_Î - da_PENTRU) / (X_Î - X_PENTRU), unde H este curba dintre două puncte. În exemplul anterior, curba dintre P și Q este:
   

   H = (y_Î - da_PENTRU) / (X_Î - X_PENTRU)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Repetați de mai multe ori, apropiind Q-ul de P. Obiectivul este de a reduce din ce în ce mai mult distanța dintre Q și P, până când se apropie de un singur punct. Cu cât distanța dintre Q și P este mai mică, cu atât curba segmentelor dvs. mici va fi mai aproape de curba punctului P. Vom face acest lucru de câteva ori pentru ecuația de exemplu, folosind punctele (2; 4,8), (1,5; 3,95) și (1,25; 3,49) pentru Q și punctul inițial (1,3) pentru P:
   

   Q = (2, 4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Estimează curba pentru un spațiu infinit de mic pe linie. Pe măsură ce Q se apropie de P, H se va apropia de curba în punctul P. În cele din urmă, într-un interval infinit de mic, H va fi egal cu curba în P. Deoarece nu este posibil să se măsoare sau să se calculeze acest interval, se estimează doar curba P când devine clară din punctele testate.
   • În exemplu, când se apropie Q de P, valorile 1.8, 1.9 și 1.96 au fost obținute pentru H. Deoarece aceste numere par a fi apropiate de 2, se poate spune că 2 este o estimare bună pentru curba P.
   • Amintiți-vă că curba la un punct dat dintr-o linie este aceeași cu cea derivată din ecuația liniei din acel punct. Deoarece linia arată deplasarea obiectului în timp și, așa cum se vede în secțiunea de mai sus, viteza instantanee a unui obiect este derivata deplasării sale într-un punct dat, se poate spune, de asemenea, că 2 metri / secundă este o estimare bună pentru viteza instantanee la t = 1.

Partea 3 din 3: Exemple de probleme

1. 

   Găsiți viteza instantanee la t = 4, dată fiind ecuația de deplasare s = 5t - 3t + 2t + 9. Acesta este același cu exemplul din prima secțiune, cu excepția faptului că este mai degrabă o ecuație cubică decât o ecuație pătratică, deci este rezolvată în același mod.
   • În primul rând, găsim derivata ecuației:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Apoi, valoarea pentru t (4) este atribuită:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 218 metri / secundă

2. 

   Folosiți o estimare grafică pentru a găsi viteza instantanee la (1,3) pentru ecuația de deplasare s = 4t - t. Pentru această problemă, (1,3) este folosit ca punct P, dar este necesar să găsiți alte puncte din apropiere pentru a le folosi ca puncte Q. Deci, este doar o problemă de a găsi valorile H și de a face o estimare .
   • În primul rând, punctele Q se găsesc la t = 2, 1,5, 1,1 și 1,01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, deci Q = (2,14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, deci Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, deci Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, deci Q = (1,01; 3,0704)

   • Apoi, există valorile H:
     

     Q = (2.14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1,01; 3,0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Deoarece valorile lui H par să se apropie de 7, se poate spune că 7 metri / secundă este o estimare bună pentru viteza instantanee la (1.3).

sfaturi

• Pentru a găsi accelerația (schimbarea vitezei în timp), utilizați metoda din prima parte pentru a obține o ecuație derivată pentru funcția de deplasare. Apoi, obțineți o altă derivată, de data aceasta din ecuația derivată. În acest fel veți avea o ecuație pentru a găsi accelerația într-un anumit timp - tot ce trebuie să faceți este să atribuiți o valoare timpului.
• Ecuația care leagă Y (deplasare) de X (timp) poate fi destul de simplă, de exemplu, Y = 6x + 3. În acest caz, curba este constantă și nu este necesar să se găsească o derivată pentru a obține curba, care este, urmând modelul de bază Y = mx + b pentru grafice liniare, 6.
• Deplasarea este similară cu distanța, dar are o direcție definită, ceea ce face deplasarea vectorială și accelerația scalară. Decalajul poate fi negativ, iar distanța doar pozitivă.