Conţinut

• Pași
• sfaturi
• Avertizări

Înainte de sosirea calculatorului, atât elevii, cât și profesorii au trebuit să calculeze rădăcinile pătrate cu mâna. Au evoluat mai multe metode pentru a face față mai bine acestui proces înspăimântător, unele aducând aproximări, iar altele o valoare mai precisă. Pentru a afla cum să calculați manual o rădăcină pătrată folosind operații simple, citiți fișierul Pasul 1 a incepe.

Pași

Metoda 1 din 2: Utilizarea factorizării prime

1. 

   Împărțiți numărul cu factori pătrat perfecți. Această metodă folosește factorii unui număr pentru a calcula o rădăcină pătrată (în funcție de valoare, poate fi un răspuns precis sau estimat). Tu factori dintr-un număr sunt orice set de altele care se înmulțesc pentru a-l atinge. Ați putea spune, de exemplu, care sunt factorii și de ce. Pătratele perfecte, pe de altă parte, sunt numere întregi rezultate din înmulțirea între alte numere întregi. Valorile și, de exemplu, sunt pătrate perfecte, deoarece pot fi reprezentate prin respectiv, respectiv. Factorii pătratului perfect, așa cum ți-ai putea imagina, sunt și pătrate perfecte. Pentru a începe să găsiți rădăcina pătrată prin factorizarea primă, reduceți valorile la factorii pătrat perfecti.
   • Într-un exemplu, va trebui să calculați rădăcina pătrată a mâinii. Pentru început, împărțiți doar valoarea în factorii pătrat perfecti. Deoarece este un multiplu al, se știe încă că este divizibil cu - un pătrat perfect. O împărțire mentală rapidă vă va face să vedeți că se potrivește cu numărul în număr, ceea ce întâmplător este, de asemenea, un pătrat perfect. Prin urmare, factorii pătrat perfecți ai vor fi și de ce.
   • Prima etapă a exercițiului va fi scrisă după cum urmează:

2. 

   
   
   Calculați rădăcinile pătrate ale factorilor pătrat perfecți. Proprietatea produsului rădăcină pătrată afirmă că, pentru orice valori și date ,. Din această cauză, acum este posibil să extragem rădăcinile pătrate ale factorilor și să le înmulțim pentru a ajunge la răspuns.
   • În exemplul în cauză, rădăcinile pătrate ale și vor fi extrase după cum urmează:

3. 

   
   
   Reduceți valoarea rezultată la cei mai simpli termeni, dacă nu este posibil să o luați în calcul perfect. În practică, este puțin probabil ca numerele să fie perfecte și exacte, cu factori care sunt, de asemenea, pătrate perfecte (cum ar fi). În astfel de cazuri, este posibil să nu fie posibil să se găsească un răspuns exact. În schimb, determinând factorii care pot fi pătrate perfecte, puteți calcula răspunsul pe baza unei rădăcini pătrate mai mici, mai simple și mai ușor de lucrat. Reduceți numărul la combinația de factori care sunt pătrate perfecte cu alții care nu sunt. Apoi, simplificați rezultatul.
   • Să presupunem că rădăcina pătrată a este folosită ca exemplu. Acest număr nu este produsul a două pătrate perfecte, deci nu este posibil să se ajungă la o valoare întreagă ca în cazul precedent. Cu toate acestea, este produsul dintre un pătrat perfect și un alt număr - e. Aceste date vor fi utilizate pentru a avansa căutarea răspunsului în termenii cei mai simpli, după cum urmează:

4. 

   
   
   Dacă este necesar, faceți estimări. Cu rădăcina pătrată în termenii cei mai simpli, este mai simplu să estimați un răspuns numeric prin stipularea valorii rădăcinilor pătrate rămase și înmulțirea valorilor corespunzătoare. O modalitate de a vă ghida prin aceste estimări este de a găsi pătratele perfecte lângă numărul din rădăcina pătrată. Veți ști că zecimalele acelui număr vor fi între aceste două valori și, prin urmare, va fi mai ușor să se stipuleze ce există între ele.
   • Revenind la exemplu și fiind e, puteți vedea că este între e - și probabil mai aproape de numărul mai mare. Când estimați, veți găsi asta. Doar verificați funcționarea cu ajutorul unui calculator și veți observa că ați ajuns foarte aproape de răspunsul adevărat ().
     • Acest lucru funcționează și în număr mai mare. Este posibil, de exemplu, să estimăm că este între și (probabil mai aproape de numărul mai mare). Dacă e și este între ambele valori, este probabil ca rădăcina sa pătrată să fie și între și. Ținând cont de faptul că este la un mic pas, puteți afirma cu încredere că rădăcina dvs. pătrată este curând sub valoare. Când efectuați calculul pe un calculator, ajungeți la rezultat - presupunerea a fost corectă.

5. 

   În primul rând, reduceți numărul la comune minime multiple. Nu este necesar să găsiți factori care sunt pătrate perfecte dacă puteți determina factorii primi ai unui număr (adică aceștia sunt și numere prime). Scrieți valoarea în cauză pe baza minimului multiplu comun. Apoi, căutați perechi de numere prime care se potrivesc între ele. Când găsiți două opțiuni care îndeplinesc aceste cerințe, scoateți-le din rădăcina pătrată și locul A dintre ei afară.
   • De exemplu, încercați să găsiți rădăcina pătrată a cu această metodă. Se știe asta și asta. Din această cauză, este posibil să scriem rădăcina pătrată în funcție de factorii săi :. Luați doar cei doi prezenți în rădăcină și așezați unul dintre ei în exterior pentru a ajunge la cei mai simpli termeni:. De aici, este ușor de estimat.
   • Ca ultim exemplu, încercați să calculați rădăcina pătrată a:
     • 
       Aici există mai multe valori în interiorul rădăcinii pătrate - deoarece este un număr prim, trebuie doar să luați una dintre perechi și să plasați una dintre unități în exterior.
     • Ca rezultat, rădăcina pătrată în termenii săi simpli va fi sau. De aici, puteți estima valorile și, dacă doriți.

Metoda 2 din 2: Calcularea manuală a rădăcinilor pătrate

1. 

   Mai întâi, separați spațiile de numărul în perechi. Această metodă folosește un proces similar diviziunii lungi pentru a calcula rădăcina pătrată corect, câte o casă la un moment dat. Deși nu este crucial, puteți constata că procesul este mai ușor atunci când este organizat vizual și numărul este împărțit în părți. Primul lucru de făcut este să trasați o linie verticală care separă zona de lucru în două regiuni, apoi să faceți o linie orizontală mai mică lângă partea dreaptă sus pentru a avea o secțiune mică în partea de sus și una mare în partea de jos. Acum, separați spațiile de numărul în perechi începând cu virgula: urmând această regulă, de exemplu, devine. Scrieți valoarea în partea de sus a spațiului din stânga.
   • Într-un exemplu, încercați să calculați rădăcina pătrată a. Faceți două rânduri pentru a împărți zona de lucru ca în cazul anterior și scrieți în porțiunea superioară a spațiului din stânga și nu vă faceți griji dacă există doar un singur număr în stânga în loc de o pereche. Trebuie să scrieți răspunsul () în regiunea din dreapta sus.

2. 

   Aflați care este cel mai mare întreg al cărui pătrat este mai mic sau egal cu numărul (sau perechea de numere) din stânga. Începeți cu partea din stânga a numărului dvs., indiferent dacă este o pereche sau o valoare izolată. Determinați care este cel mai mare pătrat perfect care este mai mic sau egal cu acel număr și luați rădăcina pătrată: această valoare este reprezentată de. Scrieți-l în spațiul din dreapta sus și scrieți pătratul în cadranul din dreapta jos.
   • În exemplu, porțiunea din stânga este numărul. După cum se știe, este posibil să se afirme că, deoarece este cea mai mare valoare întreagă al cărei pătrat este mai mic sau egal cu. Scrieți în cadranul superior - acesta va fi primul pătrat al rezultatului. Apoi scrieți (pătratul lui) în cadranul din dreapta jos - această valoare va fi importantă pentru pasul următor.

3. 

   Scădea numărul de perechi nou calculat din stânga. La fel ca în diviziunea lungă, pasul următor este scăderea pătratului găsit din porțiunea care tocmai a fost studiată. Scrieți această valoare sub prima porțiune și efectuați scăderea corespunzătoare, scriind răspunsul de mai jos.
   • În exemplu, unul va fi plasat sub cel pentru a efectua scăderea. Răspunsul aici va fi egal cu.

4. 

   Mergeți la următoarea pereche. Mutați următoarea porțiune a numărului de studiu în jos și lângă valoarea scăzută pe care tocmai ați găsit-o. Apoi înmulțiți valoarea din dreapta sus cu și scrieți răspunsul în cadranul din dreapta jos. Acum separă doar un spațiu pentru problema multiplicării în pasul următor :.
   • În exemplu, următoarea pereche disponibilă este. uită-te la el în apropierea cadranului din stânga jos. Apoi înmulțiți valoarea și obțineți-o, astfel încât. Scrieți în colțul din dreapta jos, urmat de.

5. 

   Completați spațiile libere din cadranul drept. Fiecare dintre ei va avea acum același număr întreg. Trebuie să fie cel mai mare care permite ca rezultatul înmulțirii din dreapta să fie mai mic sau egal cu numărul prezent acum în stânga.
   • În exemplu, completați spațiile libere cu rezultatul:. Aceasta este o valoare mai mare decât. În acest fel, este prea mare, dar probabil că o va face. Scrieți în spațiile libere și continuați :. Se confirmă că îndeplinește nevoia deoarece, apoi scrieți numărul în cadranul din dreapta sus.Acesta este al doilea pătrat din rădăcina pătrată a.

6. 

   Scădeți valoarea calculată din numărul din stânga. Continuați scăderea în același stil ca diviziunea lungă. Ia rezultatul problemei înmulțirii în cadranul drept și scade-l din valoarea care este acum pe partea stângă, plasând răspunsul chiar mai jos.
   • În exemplu, va fi scăzut din, rezultând.

7. 

   Repetați pasul 4. Derulați în jos până la următoarea porțiune a numărului a cărei rădăcină pătrată este calculată. Când ajungeți la virgulă, scrieți o zecimală în răspunsul din cadranul din dreapta sus. Apoi, înmulțiți valoarea din dreapta sus cu și scrieți operația în alb () ca anterior.
   • În exemplu, în timp ce virgula este atinsă acum, scrieți-o imediat după răspunsul curent în partea dreaptă sus. Apoi mutați în jos următoarea pereche () în cadranul stâng. Înmulțind cu valoarea din dreapta sus (), obțineți - scrieți în cadranul din dreapta jos.

8. 

   Repetați pașii 5 și 6. Găsiți cea mai mare valoare zecimală capabilă să completați spațiile goale din dreapta care dau un rezultat mai mic sau egal cu numărul din stânga. Apoi treceți la problema.
   • În exemplu ,, care este mai mic sau egal cu numărul din stânga (). Observând că, care este prea mare, ajungeți la concluzia că este răspunsul pe care îl căutați. Scrieți-l ca următoarea zecimală în cadranul din dreapta sus și scădeți rezultatul înmulțirii numărului din stânga :.

9. 

   Continuați să calculați zecimalele. Aruncați o pereche de zerouri la stânga și repetați Pașii 4, 5 și 6. Pentru o precizie și mai mare, continuați să repetați procesul până când găsiți sutimi, mii și așa mai departe în răspunsul dvs. Continuați doar în acest ciclu până când ajungeți la rezultatul în zecimalul dorit.

Înțelegerea procesului

1. 

   Definiți numărul a cărui rădăcină pătrată va fi calculată ca aria unui pătrat. Deoarece această zonă are o formulă, în care reprezintă lungimea uneia dintre laturile sale, atunci când încercați să găsiți rădăcina pătrată a valorii sale, încercați să calculați lungimea pătratului în cauză.

2. 

   Specificați variabilele pentru fiecare zecimală în răspunsul dvs. Setați variabila să fie prima zecimală (rădăcina pătrată fiind calculată), să fie a doua, să fie a treia și așa mai departe.

3. 

   Atribuiți variabile alfabetice fiecărei porțiuni a numărului de pornire. Asociați variabila cu prima pereche de zecimale în (valoare inițială), a doua pereche de zecimale și așa mai departe.

4. 

   Înțelegeți legătura acestei metode cu împărțirea lungă. Acest mod de a calcula rădăcina pătrată este practic o problemă de diviziune lungă care împarte numărul de pornire la rădăcina sa pătrată, dând rădăcina ei pătrată ca răspuns. Ca și în cazul problemelor de diviziune lungă, în care interesul este îndreptat către o zecimală la un moment dat, aici ar trebui să vă concentrați pe două la rând (care corespund următoarei zecimale rădăcină pătrată).

5. 

   Găsiți cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu. Prima zecimală din răspuns reprezintă cel mai mare număr întreg al cărui pătrat nu depășește (deci). În exemplu, și, astfel încât.
   • Într-un exemplu, dacă ați dori să împărțiți folosind metoda divizării lungi, primul pas ar fi similar: ar trebui să căutați prima cifră () și să găsiți cel mai mare număr întreg care, atunci când este înmulțit cu, ar avea ca rezultat ceva mai mic sau egal cu. Practic, este vorba de a găsi acest mod. În acest caz, ar fi egal cu.

6. 

   Vizualizați pătratul a cărui suprafață doriți să o calculați. Răspunsul, care este rădăcina pătrată a numărului de pornire, va fi reprezentat prin, care descrie lungimea unui pătrat de suprafață (numărul de pornire). Valorile pentru și reprezintă zecimale prezente în. Un alt mod de a pune această definiție este de a afirma că, în cazul unui răspuns cu două zecimale, în cazul unui răspuns cu trei zecimale și așa mai departe.
   • În exemplu ,. Amintiți-vă că reprezintă răspunsul cu în unități și în zeci. Luând și ca exemplu, va rezulta numărul. Dacă reprezintă aria pătratului, reprezintă zona celui mai mare pătrat intern, reprezintă aria celui mai mic pătrat intern și reprezintă aria fiecărui dreptunghi rămas. Când efectuați acest proces lung și complicat, veți avea la îndemână întreaga suprafață pătrată, adăugând doar suprafețele calculate din pătratele și dreptunghiurile din interior.

7. 

   Scade din. Aruncați o pereche () de zecimale. Expresia reprezintă aproape întreaga suprafață a pătratului, din care a fost scăzut cel mai mare pătrat intern. Restul, la rândul lor, poate fi reprezentat de cel obținut în Pasul 4 (în exemplul de mai sus). Aici, (aria ambelor dreptunghiuri plus aria celui mai mic pătrat).

8. 

   Căutați, scris și ca. În exemplu, știți deja () și (), iar acum este necesar să calculați valoarea lui. Probabil că nu va fi o valoare întreagă, așa că trebuie într-adevăr calculați cea mai mare posibilitate întreagă care îndeplinește condiția. În cele din urmă, vei rămâne cu.

9. 

   Rezolvați operațiunea. Pentru a continua, multiplicați cu, modificați poziția zecilor (echivalentul înmulțirii valorii cu), puneți-o în poziția unităților și înmulțiți rezultatul cu. Cu alte cuvinte, pur și simplu efectuați operația. Este la fel ca atunci când scriem (fiind) în cadranul din dreapta jos prezent în Pasul 4. Deja inauntru Pasul 5La rândul său, veți găsi cea mai mare valoare întreagă care se va potrivi în spațiul gol care îndeplinește condiția.

10. 

    Scădeți aria din suprafața totală. Acest lucru are ca rezultat zona ignorată până acum (și care va fi utilizată pentru a calcula următoarele pătrate într-un mod similar).

11. 

    Pentru a calcula următoarea zecimală, repetați pur și simplu procesul. Derulați în jos la următoarea pereche () de pentru a ajunge la stânga și căutați cea mai mare valoare care îndeplinește condiția (echivalent cu scrierea de două ori a valorii cu două zecimale însoțite de. Căutați cea mai mare valoare zecimală posibilă în spațiile goale care aduce un rezultat mai mic sau egal cu, ca înainte.

sfaturi

• Această metodă funcționează cu orice bază - nu doar cu baza (zecimală).
• În exemplu, o „odihnă” poate fi considerată:
  
• O metodă alternativă care folosește fracții continue urmează această formulă:
  
  Într-un exemplu, pentru a calcula rădăcina pătrată a, întregul al cărui pătrat se potrivește cel mai bine cu numărul de plecare este, astfel încât, e. Când introduceți valorile în formulă și rotunjiți estimarea, aceasta aduce deja rezultatul (valori minime) sau aproximativ (). Următorul termen ar fi, sau aproximativ (). Fiecare termen suplimentar adaugă aproape trei zecimale de precizie față de încercarea anterioară.

Avertizări

• Nu uitați să separați zecimalele în perechi de virgulă. O separare a modului, de exemplu, va aduce rezultate inutile.