Conţinut

• Pași
• sfaturi

Spre deosebire de linia dreaptă, panta unei curbe variază constant pe măsură ce se deplasează de-a lungul graficului.Calculul introduce elevii în conceptul că fiecare punct al acestui grafic poate fi descris cu o pantă sau cu o „rată de schimbare instantanee”. Linia tangentă este o linie dreaptă relativă la acea pantă, care trece prin același punct de pe grafic. Pentru a afla care este ecuația tangentă, va trebui să știți cum să extrageți derivata din ecuația originală.

Pași

Metoda 1 din 2: Găsirea ecuației unei tangente

1. 

   Schițați funcția și tangenta (recomandat). Graficul vă ajută să urmăriți problema și să vedeți dacă răspunsul are sens. Schițați funcția pe o bucată de hârtie milimetrică, utilizând un calculator grafic, dacă este necesar. Desenați tangenta care trece prin punctul dat (amintiți-vă că trece prin acel punct și are aceeași pantă ca graficul de acolo).
   • Exemplul 1: Schițați graficul în parabolă. Desenați tangenta care trece prin punctul (-6, 1).
     Încă nu știți ecuația tangentei, dar puteți vedea că panta este negativă și că și interceptarea ei este negativă (mult sub vârful parabolei, cu o valoare de y = -5,5). Dacă răspunsul dvs. final nu se potrivește cu aceste detalii, puteți verifica calculele pentru erori.

2. 

   
   
   Obțineți derivata de ordinul întâi pentru a găsi ecuația lui pantă tangentă. Pentru funcția f (x), prima derivată f '(x) reprezintă ecuația pantei tangentei în orice punct al lui f (x). Există multe modalități de a obține. Iată un exemplu simplu care folosește regula puterii:
   • Exemplul 1 (continuare): graficul este descris de funcție
     Amintiți-vă regula puterilor atunci când faceți derivate :.
     Prima derivată a funcției va fi egală cu f '(x) = (2) (0,5) x + 3 - 0.
     f ’(x) = x + 3. Introduceți orice valoare„ a ”pentru xul acestei ecuații și rezultatul va fi egal cu panta tangentei lui f (x) în punctul în care x = a.

3. 

   
   
   Introduceți valoarea x a punctului de investigat. Citiți problema pentru a găsi coordonatele punctului a cărei tangentă doriți să o găsiți. Introduceți coordonata x a acelui punct în f ’(x). Rezultatul va fi panta tangentei în acel punct.
   • Exemplul 1 (continuare): punctul menționat în problemă este (-6, -1). Utilizați coordonata x = -6 ca valoare a variabilei independente în f ’(x):
     f ’(- 6) = -6 + 3 = -3
     Panta tangentei este -3.

4. 

   
   
   Scrieți ecuația tangentă în forma fundamentală. Forma fundamentală a unei ecuații liniare este reprezentată de, unde m reprezintă panta (panta liniei) și reprezintă un punct pe linie. Acum aveți toate informațiile de care aveți nevoie pentru a scrie ecuația tangentă în forma respectivă.
   • Exemplul 1 (continuare):
     Panta liniei este egală cu -3 și, prin urmare ,.
     Tangenta trece prin punctul (-6, -1), astfel încât ecuația finală poate fi reprezentată prin.
     Simplifică-l la
     .

5. 

   Confirmați ecuația din graficul dvs. Dacă aveți un calculator grafic, configurați funcția originală și tangenta pentru a verifica dacă rezultatul este corect. Dacă lucrați pe hârtie, reveniți la graficul anterior pentru a vă asigura că nu există erori în răspuns.
   • Exemplul 1 (continuare): schița inițială a dezvăluit că panta tangentei era negativă, iar interceptarea y era cu mult sub -5,5. Ecuația tangentă pe care o găsim este reprezentată de y = -3x - 19 în forma fundamentală, indicând faptul că -3 reprezintă panta și -19, interceptarea y. Ambele atribute sunt identice cu predicțiile inițiale.

6. 

   Încercați să rezolvați o problemă mai dificilă. Iată o urmărire a întregului proces, din nou. Acum, scopul este să găsim tangenta lui x = 2:
   • Cu regula puterii, prima derivată va fi egală cu. Această funcție ne va arăta care este panta tangentei.
   • Odată x = 2, găsiți. Aceasta este panta funcției când x = 2.
   • Rețineți că nu avem valoarea punctului în acest moment, ci doar o coordonată x. Pentru a afla care este coordonata y, introduceți x = 2 în funcția inițială :. Punctul va fi (2.27).
   • Scrieți ecuația tangentă în forma fundamentală:
     
     Dacă este necesar, simplificați-l la y = 25x - 23.

Metoda 2 din 2: Depanarea problemelor conexe

1. 

   Găsiți punctele extreme ale unui grafic. Acestea sunt punctele la care graficul atinge un maxim local (punct mai mare decât punctele de pe orice parte) sau un minim local (mai mic decât toate punctele de pe orice parte). Tangenta va avea întotdeauna o pantă egală cu 0 în aceste puncte (linia orizontală), ceea ce nu indică neapărat un punct extrem. Aflați cum să le găsiți aici:
   • Găsiți prima derivată a funcției pentru a obține f '(x), ecuația pentru panta tangentei.
   • Rezolvați f ’(x) = 0 pentru a găsi posibil puncte extreme.
   • Luați a doua derivată pentru a obține f ’’ (x), ecuația care vă spune cât de repede se modifică panta tangentei.
   • Pentru fiecare punct extrem posibil, introduceți coordonata x = în f ’’ (a). Dacă valoarea f ’’ (a) este pozitivă, există un minim local în . Dacă valoarea lui f '' (a) este negativă, este un maxim local. Dacă valoarea lui f ’’ (a) este egală cu 0, există un punct de inflexiune, nu un punct extrem.
   • Dacă există un maxim sau un minim în , găsiți valoarea lui f ’’ (a) pentru a găsi coordonata y.

2. 

   Găsiți ecuația normală. „Normalul” unei pante într-un anumit punct trece prin acel punct, dar are o pantă care este perpendiculară pe o tangentă. Pentru a găsi ecuația normalului, profitați de faptul că produsul (panta tangentei). (Panta normalului) = -1, când ambii trec prin același punct pe grafic. Cu alte cuvinte:
   • Găsiți f ’(x), panta tangentei.
   • Dacă punctul este la x = , găsiți f ’(a) pentru a găsi panta tangentei în acea locație.
   • Calculați pentru a găsi panta normală.
   • Scrieți ecuația normală în forma fundamentală.

sfaturi

• Dacă este necesar, începeți să rescrieți ecuația inițială în general:
  f (x) =… sau y =…