Conţinut

• paşi
• sfaturi

Pentru cei care au dificultăți cu matematica, a vedea simbolul unei rădăcini pătrate poate provoca frisoane. Cu toate acestea, problemele care implică acest operator nu sunt atât de dificile pe cât par. Uneori, problemele simple de rădăcină pătrată pot fi la fel de ușoare ca o simplă înmulțire sau divizare. Pe de altă parte, probleme mai complicate pot fi mai mult de lucru. Cu toate acestea, cu o abordare corectă, toate vor arăta ușor. Începeți să practicați acum problemele de rădăcină pătrată și învățați această nouă abilitate de matematică radical!

paşi

Partea 1 din 3: Înțelegeți conceptul de rădăcini pătrate și pătrate

1. 

   Înainte de a înțelege rădăcinile pătrate, mai întâi înțelegeți care este pătratul unui număr. Este ușor de înțeles. Pentru a pătra un număr, doar înmulțiți-l singur. De exemplu, 3 pătrat este același ca 3 × 3 = 9, iar 9 pătrat este același ca 9 × 9 = 81. Pătratele sunt notate de un mic „2” în partea dreaptă sus a numărului care trebuie ridicat, astfel: 3, 9, 100 și așa mai departe.
   • Pentru a exersa conceptul, încercați să pătrați încă câteva numere. Amintiți-vă, pătratul unui număr este doar o înmulțiți singur. Puteți face acest lucru chiar și cu numere negative, dar nu uitați că în acest caz răspunsul va fi întotdeauna pozitiv. De exemplu, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Pentru a găsi rădăcina pătrată, găsiți „inversul” potențării. Simbolul rădăcină (√, numit și „radical”) înseamnă practic „opusul” simbolului. Când vedeți un radical, întrebați-vă: „Ce număr pot multiplica de la sine pentru ca rezultatul să fie numărul din radical?” De exemplu, când vedeți √ (9), încercați să găsiți numărul care, pătrat, este egal cu 9. În acest caz, răspunsul va fi Treideoarece 3 = 9.
   • Un alt exemplu: să găsim rădăcina pătrată a 25 (√ (25)). Aceasta înseamnă că trebuie să găsim numărul care, pătrat, este egal cu 25. Deoarece 5 = 5 × 5 = 25, putem spune că √ (25) = 5.
   • De asemenea, puteți gândi la această operație ca o modalitate de a „anula” o altitudine pătrată. De exemplu, dacă trebuie să găsim √ (64), rădăcina pătrată a 64, ar trebui să ne gândim la 64 ca 8. Deoarece rădăcina pătrată practic „anulează” o înălțime pătrată, putem spune că √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Înțelegeți diferența dintre numerele pătrate perfecte și numerele pătrate imperfecte. Până în prezent, răspunsurile la problemele noastre de rădăcină pătrată au fost numere întregi. Nu se va întâmpla întotdeauna. De fapt, rezultatul unei operații de radiații poate duce uneori la zecimale lungi și complicate. Dacă rădăcina unui număr este un număr întreg, adică dacă nu este o fracție sau o zecimală, se va numi Patrat perfect. Toate exemplele prezentate mai sus (9, 25 și 64) sunt pătrate perfecte, deoarece rădăcinile lor sunt numere întregi (3, 5 și, respectiv, 8).
   • Pe de altă parte, se numesc numere ale căror rădăcini nu sunt întregi pătrate imperfecte. Atunci când calculăm rădăcina unuia dintre aceste numere, vom obține un rezultat care va fi de obicei o fracție sau o zecimală. Uneori, zecimalele implicate pot fi destul de complicate, ca în exemplul: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Memorizează cel puțin primele 12 pătrate perfecte. După cum am arătat, calculul rădăcinii pătrate a unui număr poate fi foarte ușor! Prin urmare, este important să ne ocupăm de timp pentru a memora rădăcinile pătrate ale primelor zeci de pătrate perfecte. Acestea tind să apară foarte mult la teste, astfel încât memorarea lor vă poate economisi mult timp. Primele 12 pătrate perfecte sunt:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Când este posibil, simplificați rădăcinile eliminând pătratele perfecte. Găsirea rădăcinii pătrate a pătratelor imperfecte poate fi destul de complicată, mai ales dacă nu există un calculator disponibil (în secțiunile de mai jos, veți învăța trucuri pentru a simplifica procesul). Cu toate acestea, uneori este posibil să simplificăm numerele din interiorul rădăcinii pentru a face calculele mai ușoare. Doar împărțiți numărul din interiorul rădăcinii în factori, apoi calculați rădăcina factorilor care sunt pătrate perfecte și scrieți răspunsul în afara radicalului. Acest lucru este mai ușor decât pare. Vezi mai jos pentru a înțelege mai bine!
   • Să zicem că trebuie să găsiți rădăcina lui 900. La început, se pare că este o sarcină destul de dificilă! Totul este mult mai ușor dacă împărțim 900 în factori. Factorii unui număr „x” sunt un set de numere care, dacă sunt înmulțite, duc la „x”. De exemplu, putem obține 6 înmulțind 1 × 6 și 2 × 3, deci factorii 6 sunt 1, 2, 3 și 6.
   • În loc să lucrăm cu 900, care poate fi puțin ciudat, să-l scriem în schimb ca 9 × 100. Acum, deoarece 9, care este un pătrat perfect, este separat de 100, putem calcula rădăcina pătrată a acestuia. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Adică √ (900) = 3√(100).
   • Mai putem simplifica încă două ori, împărțind 100 la factorii 25 și 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Deci, putem spune că √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Utilizați numere imaginare pentru a calcula rădăcina numerelor negative. Întrebați-vă, ce număr înmulțit de la sine rezultă în -16? Nu este 4 sau -4, deoarece pătratul acestor două numere este 16. Ar trebui să renunțăm? De fapt, nu există nicio modalitate de a scrie rădăcina pătrată de -16 sau orice alt număr negativ folosind doar numere reale. În astfel de cazuri, trebuie să folosim numere imaginare (de obicei sub formă de litere sau simboluri) pentru a înlocui rădăcina pătrată a unui număr negativ. Variabila "i", de exemplu, este utilizată pentru a indica rădăcina pătrată de -1. De regulă generală, rădăcina unui număr negativ va fi întotdeauna (sau cel puțin include) un număr imaginar.
   • Amintiți-vă, chiar dacă numerele imaginare nu pot fi reprezentate de numere reale, ele pot fi totuși tratate ca atare în unele moduri. De exemplu, rădăcina unui număr negativ „-x”, dacă este pătrat, are ca rezultat și „-x”, la fel ca oricare altă rădăcină. Adică i = -1

Partea 2 din 3: Utilizarea metodelor lungi asemănătoare diviziunii

1. 

   Tratează problema rădăcinii pătrate ca și cum ar fi o diviziune lungă. În ciuda faptului că este puțin laborios, puteți găsi rădăcina pătrată a numerelor pătrate imperfecte complicate fără a utiliza un calculator. Metoda (sau algoritmul) este similară (dar nu la fel) cu cea a divizării lungi. Diviziunea lungă este acea metodă tradițională folosită pentru calcularea diviziilor de mână.
   • Începeți cu poziționarea inițială a problemei, care va fi similară cu cea a divizării lungi. De exemplu, să zicem că trebuie să găsiți rădăcina de 6.45, care cu siguranță nu este un pătrat perfect. Mai întâi, scriem un simbol rădăcină pătrată (√) și apoi plasăm numărul nostru în el. Apoi, trebuie să formăm o linie de la simbolul √ până când acoperă întregul număr, lăsând-o în interiorul unei cutii asemănătoare cu cea în care se află divizorul de divizare lungă. Diferența este că aici, răspunsul va fi peste această casetă, nu mai jos, ca în diviziunea tradițională. După ce vom termina, vom avea un semn „√” alungit, care acoperă întregul număr de 6,45.
   • Să scriem numere pe această casetă, deci lăsați spațiu.

2. 

   Grupați cifrele în perechi. Pentru a începe soluționarea problemei, grupați cifrele numărului din interiorul tijei în perechi, începând cu punctul zecimal. Puteți face mici marcaje (cum ar fi perioade, bare, virgule etc.) între perechi pentru a le separa.
   • În exemplul nostru, ar trebui să împărțim 6.45 în trei perechi, astfel: 6-,45-00. Vedeți că există o cifră mai puțin pe partea stângă, nu există nicio problemă cu asta.

3. 

   Găsiți cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu valoarea primului „grup”. Începeți cu prima pereche de numere din partea stângă. Alegeți cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu „grupul”. De exemplu, dacă grupul a fost 37, alegeți 6, deoarece 6 = 36 <37, dar 7 = 49> 37. Scrieți acest număr deasupra primului grup. Aceasta este prima cifră a răspunsului.
   • În exemplul nostru, primul grup din 6-6, 45-00 este 6. Primul număr cel mai mare al cărui pătrat este mai mic sau egal cu 6 este 2, deoarece 2 = 4. Scrieți „2” peste cele 6 care se află în interiorul radicalului.

4. 

   Uită-te la prima cifră a răspunsului (numărul pe care tocmai l-am găsit) și înmulțește-l cu două. Acum, scrieți rezultatul sub primul grup și efectuați o scădere pentru a găsi diferența. Apoi, derulați în jos următoarea pereche de numere, adăugându-le la diferența pe care tocmai am găsit-o. În cele din urmă, scrie ultima cifră dublă prima cifră a răspunsului în partea stângă și lasă un spațiu lângă ea.
   • În exemplul nostru, primul pas ar fi găsirea dublei de 2, care este prima cifră a răspunsului. 2 × 2 = 4. Apoi, trebuie să scădem 4 din 6 (primul nostru „grup”), obținând 2 ca răspuns. Acum, trebuie să coborâm la următorul grup (45) pentru a obține 245. În cele din urmă, scriem din nou 4 pe stânga, lăsând un mic spațiu gol în partea dreaptă, astfel: 4_.

5. 

   Completează spațiul liber. Acum, trebuie să punem o cifră în locul spațiului gol lângă numărul pe care îl scriem în stânga. Alegeți cifra care, atunci când este înmulțită cu numărul din stânga cu spațiul gol înlocuit de el însuși, are o valoare maximă, dar mai mică decât numărul din partea dreaptă. Acest lucru poate părea un pic complicat, așa că haideți să vedem câteva exemple de înțeles. Dacă numărul care a coborât, adică cel din partea dreaptă, este 1700, iar numărul din dreapta este 40_, am completa completarea cu numărul 4, deoarece 404 × 4 = 1616 <1700 și 405 × 5 = 2025 Numărul găsit în acest pas va fi a doua cifră a răspunsului, astfel încât să îl puteți adăuga deasupra simbolului stem.
   • În exemplul nostru, trebuie să găsim numărul care să completeze spațiul necompletat în 4_ × _ care să facă răspunsul cât mai mare, dar mai mic sau egal cu 245. În cazul nostru, răspunsul este 5deoarece 45 × 5 = 225 și 46 × 6 = 276.

6. 

   Continuați să utilizați numerele care completează semifabricatele pentru a compune răspunsul. Continuați această metodă modificată de divizare lungă până când începeți să obțineți zerouri scăzând numărul care coboară de la radical sau până când atingeți nivelul dorit de precizie. După terminare, numerele folosite pentru completarea semnalelor la fiecare pas (și, bineînțeles, primul număr pe care îl folosim) vor alcătui cifrele de răspuns.
   • Continuând exemplul nostru, am scădea 225 din 245 pentru a obține 20. Apoi, am coborî perechea de cifre 00 pentru a obține 2000. Dublând numerele de deasupra radicalului, avem 25 × 2 = 50. Prin setarea numărului gol la 50_ × _ = / <2.000, obținem 3. În acest moment, avem „253” despre radical. Repetând procesul din nou, obținem un 9 ca următoarea cifră.

7. 

   Plasați virgula în poziția corectă în răspuns. Pentru a termina răspunsul, mai trebuie să punem punctul zecimal la locul potrivit. Această parte este ușoară: puneți virgula în răspuns în aceeași poziție cu virgula în numărul din interiorul radicalului. De exemplu, dacă numărul din interiorul radicalului este 49,8, trebuie doar să introduceți virgula în răspuns în locul corespunzător celui de mai jos, adică între cele două numere de mai sus 9 și 8.
   • În exemplul nostru, numărul din radical este 6,45. Pentru a obține răspunsul, așezați virgula între numerele care sunt peste 6 și 4, care în acest caz sunt 2 și, respectiv, 5, pentru a obține răspunsul: 2,539.

Partea 3 din 3: estimarea rapidă a pătratelor imperfecte

1. 

   Găsiți răspunsul printr-o estimare. După ce cunoașteți rădăcina unor pătrate perfecte, găsirea rădăcinii pătratelor imperfecte va fi mult mai ușoară. Într-o etapă anterioară, vă recomandăm să memorați cel puțin primele douăsprezece pătrate perfecte și rădăcinile lor. Vestea bună este că putem folosi estimarea pentru a obține o aproximare a rădăcinii unui pătrat imperfect care se află între două pătrate perfecte pe care le cunoaștem. Pentru aceasta, trebuie să găsim primul pătrat perfect mai mare decât numărul dorit și ultimul mai mic, astfel încât numărul în cauză să fie între cele două. Apoi, trebuie să încercăm să aflăm de la care dintre aceste două pătrate perfecte se află cea mai apropiată rădăcină a numărului dorit.
   • De exemplu, să presupunem că trebuie să găsim rădăcina pătrată de 40. Deoarece ne memorăm pătratele perfecte, putem spune că 40 este între 6 și 7, adică între 36 și 49. Deoarece 40 este mai mare decât 6, rădăcina ta pătrată va fi mai mare de 6. De asemenea, întrucât este mai mic de 7, rădăcina sa va fi mai mică de 7. 40 este puțin mai aproape de 36 decât 49, deci răspunsul nostru va fi probabil mai aproape de 6. În următorii pași , vom crește precizia estimării noastre.

2. 

   Măriți precizia la o zecimală. După ce ați găsit cele două pătrate perfecte consecutive care formează un interval care conține numărul dvs., încercați doar să măriți precizia estimării până la un punct pe care considerați că este satisfăcător. Cu cât se fac mai multe încercări de îmbunătățire a estimării, cu atât precizia este mai mare. Pentru început, estimați valoarea primei zecimale. Această estimare nu trebuie să fie corectă, însă folosirea logicii pentru a alege o valoare care este probabil cea mai apropiată de răspuns va facilita procesul.
   • În exemplul nostru, poate fi o estimare acceptabilă pentru rădăcina pătrată a 40 6,4, pentru că știm deja că răspunsul este probabil puțin mai aproape de 6 decât 7.

3. 

   Înmulțiți estimarea singură. Dacă nu aveți mare noroc, rezultatul nu va fi numărul de pornire (40, în exemplul nostru). Va trebui să ajustați estimarea pentru a vă apropia de răspunsul corect.Dacă rezultatul este peste numărul de început (adică peste 40), încercați o estimare mai mică. De asemenea, dacă rezultatul este sub numărul dorit, creșteți estimarea.
   • Înmulțiți 6,4 de la sine pentru a obține 6,4 × 6,4 = 40,96, care este puțin mai mare decât numărul inițial.
   • Acum, întrucât estimarea noastră a fost chiar peste valoarea corectă, deci să o reducem cu o zecime pentru a obține 6,3 × 6,3 = 39,69. Acum, rezultatul a fost puțin mai mic decât numărul inițial. Aceasta înseamnă că rădăcina de 40 este un număr între 6.3 și 6.4. În plus, întrucât 39.69 este mai aproape de 40 decât 40.96, știm că rădăcina va fi mai aproape de 6.3, nu de 6.4.

4. 

   Dacă este necesar, continuați să îmbunătățiți estimarea. În acest moment, dacă sunteți mulțumit de răspuns, folosiți una dintre primele aproximări ca estimare. Cu toate acestea, dacă aveți nevoie de un răspuns mai exact, încercați doar să estimați a doua cifră zecimală, alegerea unei valori între cele două anterioare (adică între 6.3 și 6.4). Folosind această metodă, putem estima trei zecimale, patru, cinci și așa mai departe, în funcție de precizia necesară pentru răspuns.
   • În exemplul nostru, putem alege 6.33 pentru a face estimarea noastră la două zecimale. Înmulțiți singur 6,33 pentru a obține 6,33 × 6,33 = 40,0689. Deoarece acest rezultat a fost puțin peste numărul inițial, putem alege o valoare ușor mai mică, cum ar fi 6.32. În acest caz, 6,32 × 6,32 = 39,9424, un rezultat puțin sub numărul de pornire. Prin urmare, putem concluziona că rădăcina exactă a 40 este între 6,32 și 6,33. Dacă este necesar, am putea continua această metodă pentru a obține aproximări din ce în ce mai exacte la rădăcina numărului dorit.

sfaturi

• Dacă aveți nevoie de o soluție rapidă, utilizați un calculator. Majoritatea calculatoarelor moderne pot calcula rădăcinile pătrate instantaneu. În general, trebuie doar să tastați orice număr și să apăsați butonul cu simbolul rădăcină pătrată. Pentru a găsi rădăcina 841, de exemplu, trebuie doar să apăsați 8, 4, 1 și apoi (√) pentru a obține răspunsul: 39.