Conţinut

• Pași
• sfaturi

Expresia radicală este o expresie algebrică care include o rădăcină pătrată, cubică sau de altă natură. Este obișnuit ca aceste expresii să descrie același număr, chiar dacă arată destul de diferit (de exemplu: 1 / (√ (2) - 1) = √ (2) +1). Soluția este de a alege o „formă canonică” preferată pentru ei. Dacă două expresii, ambele în formă canonică, încă arată diferit, ele nu reprezintă cu adevărat același număr. Matematicienii sunt de acord că forma canonică a expresiilor radicale ar trebui:

• Evitați fracțiunile din radicali;
• Evitați exponenții fracționari;
• Evitați radicalii din numitor;
• Evitați multiplicarea radicalilor cu radicalii;
• Numai termeni în afara rădăcinii pătrate sub radicali.

O utilizare practică în acest mod poate fi găsită în testele cu alegere multiplă. Dacă rezolvați o problemă, dar nu găsiți răspunsul printre alternative, încercați să o simplificați în formă canonică. Întrucât testerii își pun adesea răspunsurile în această formă, procedând la fel cu al tău, vei clarifica care este răspunsul corect. În testele de eseu, instrucțiuni precum „simplifică-ți răspunsul” sau „simplifică toți radicalii” înseamnă că elevul trebuie să aplice pașii de urmat până când răspunsul satisface forma canonică descrisă mai sus. Această formă poate fi utilă și pentru rezolvarea ecuațiilor, deși unele sunt mai ușor de rezolvat folosind o formă necanonică.

Pași

1. 

   Dacă este necesar, recitiți regulile pentru manipularea radicalilor și exponenți (sunt același lucru: rădăcinile sunt puteri fracționare), deoarece majoritatea sunt necesare pentru acest proces. De asemenea, revedeți regulile pentru manipularea și simplificarea polinoamelor și expresiilor raționale, deoarece acestea vor fi, de asemenea, necesare pentru simplificare.

Metoda 1 din 6: Puteri perfecte

1. 

   
   
   Simplificați radicalii care sunt pătrate perfecte. Acestea sunt produsul oricărui număr care se înmulțește de la sine, cum ar fi 81, care este produsul de 9 x 9. Pentru a simplifica un pătrat perfect într-un radical, trebuie doar să scoateți simbolul din radical și să scrieți rezultatul rădăcinii pătrate .
   • De exemplu, 121 este un pătrat perfect, deoarece 11 x 11 este egal cu 121. Deci, puteți simplifica √ (121) la 11 prin eliminarea simbolului rădăcină pătrată.
   • Pentru a facilita procesul, memorați primele 12 pătrate perfecte: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144

2. 

   
   
   Simplificați radicalii care sunt cuburi perfecte. Acestea sunt produsul oricărui număr înmulțit de două ori cu el însuși, ca 27, care este produsul de 3 x 3 x 3. Pentru a simplifica o expresie radicală cu un cub perfect, trebuie doar să scoateți simbolul din radical și să scrieți rezultatul cubului rădăcina cubului perfect.
   • De exemplu, 343 este un cub perfect, deoarece este produsul de 7 x 7 x 7. Prin urmare, rădăcina cubului cubului perfect 343 este 7.

Metoda 2 din 6: Conversia exponenților raționali în radicali

Sau, convertiți-l într-un alt mod, dacă preferați (uneori, există motive întemeiate pentru asta), dar nu amestecați termeni precum √ (5) + 5 în aceeași expresie. Să presupunem că decideți să utilizați notația radicală și să utilizați √ (n) pentru rădăcina pătrată a lui n și √ (n) pentru rădăcina cubului.

1. 

   Găsiți exponentul fracționat și convertiți-l în echivalent radical, x = rădăcina b a lui x
   • Dacă indicele radical este o fracțiune, scăpați și de el. De exemplu, rădăcina (2/3) a 4 = √ (4) = 2 = 8.

2. 

   Convertiți exponenții negativi în fracțiile lor echivalente: x = 1 /
   • Acest lucru se aplică numai exponenților constanți și raționali. Dacă aveți termeni precum 2, lăsați-i așa cum sunt, chiar dacă contextul problemei sugerează că x poate fi fracționat sau negativ.

3. 

   Combinați termeni similari și simplificați expresiile raționale care funcționează.

Metoda 3 din 6: Îndepărtați fracțiile din radicali

Forma canonică necesită exprimarea rădăcinii unei fracții în termenii rădăcinilor numerelor întregi.

1. 

   Examinați termenii de sub fiecare radical pentru a vedea dacă conțin fracții. În caz pozitiv:

2. 

   Înlocuiți-l cu o divizare între doi radicali utilizând identitatea √ (a / b) = √ (a) / √ (b).
   • Nu utilizați o astfel de identitate dacă numitorul este negativ sau o expresie variabilă care poate fi negativă. În acest caz, simplificați mai întâi fracția.

3. 

   Simplificați pătratele perfecte care apar, adică convertiți √ (5/4) în √ (5) / √ (4) și simplificați până când ajunge la √ (5) / 2.

4. 

   Faceți alte simplificări, cum ar fi reduce fracțiunile complexe, combinați termeni similari etc.

Metoda 4 din 6: Combinați radicalii

1. 

   Dacă aveți o expresie radicală înmulțită cu alta, combinați-le într-un singur radical folosind următoarea proprietate: √ (a) * √ (b) = √ (ab). De exemplu, înlocuiți √ (2) * √ (6) cu √ (12).
   • Identitatea de mai sus, √ (a) * √ (b) = √ (ab), este valabilă pentru radicanți non-negativi. Nu-l aplicați dacă a și b sunt negative, deoarece astfel veți face o afirmație falsă: √ (-1) * √ (-1) = √ (1). Partea stângă este -1 prin definiție (sau nedefinită, dacă refuzați să recunoașteți numere complexe), în timp ce partea dreaptă este +1. Dacă a sau b sunt negative, „remediați” primul semn cu √ (-5) = i * √ (5). Dacă elevul este o expresie variabilă al cărei semn nu poate fi dedus din context, lăsați-o așa cum este deocamdată. Puteți utiliza identitatea mai generală, √ (a) * √ (b) = √ (sgn (a)) * √ (sgn (b)) ​​* √ (| ab |), care este valabilă pentru toate numerele reale a și b, dar în general nu merită adăugată complexitatea funcției semnalului.
   • O astfel de identitate se aplică numai atunci când radicalii au același indice. Puteți înmulți radicalii generali, cum ar fi √ (5) * √ (7), exprimându-i mai întâi cu un indice comun. Pentru a face acest lucru, convertiți rădăcinile în exponenți fracționați temporar: √ (5) * √ (7) = 5 * 7 = 5 * 7 = 125 * 49. Apoi aplicați regula produsului pentru a face acest produs la fel a șasea rădăcină din 6125.

Metoda 5 din 6: Extrageți factorii pătrati din radicali

1. 

   Expres o expresie radicală imperfectă în factorii săi. Acestea sunt numere care se înmulțesc pentru a crea un alt număr; de exemplu, 5 și 4 sunt doi factori ai numărului 20. Pentru a împărți o expresie radicală imperfectă, scrieți toți factorii acelui număr (sau cât de mulți puteți, dacă numărul este mare), până când găsiți un pătrat perfect .
   • De exemplu, încercați să enumerați toți factorii numărului 45: 1, 3, 5, 9, 15 și 45. 9 este un factor de 45 care este, de asemenea, un pătrat perfect (9 = 3). 9 x 5 = 45.

2. 

   Luați factorii care sunt rădăcini pătrate perfecte din radical. 9 este o rădăcină pătrată deoarece este produsul a 3 x 3. Scoateți-o de pe tulpină și așezați un 3 în fața ei, lăsând cele 5 în interiorul tulpinii. Dacă „întoarceți” 3 la radical, acesta va fi înmulțit de la sine pentru a crea din nou 9, care va înmulți 5 pentru a crea din nou 45. 3 rădăcină de 5 este doar un mod simplificat de a spune rădăcină de 45.
   • Adică, √ (45) = √ (9 * 5) = √ (9) * √ (5) = 3 * √ (5).

3. 

   Găsiți un pătrat perfect în variabilă. Rădăcina pătrată a ridicat la a doua putere ar fi | a |. Puteți simplifica la „a” numai dacă știți că variabila este pozitivă. Rădăcina cub a la a treia putere poate fi simplificată ca rădăcină pătrată a ori pătrate , deoarece adăugați exponenții atunci când multiplicați variabile, astfel încât ori pătrate este la fel ca în cuburi.
   • Deci, pătratul perfect al cubed este pătrat.

4. 

   Scoateți variabile care sunt pătrate perfecte ale radicalului. Atunci ia pătrat și scoateți-l din radical pentru a-l transforma într-un | a | simplu. Forma simplificată a cubed este doar | a | rădăcină de .

5. 

   Combinați termeni similari și simplificați expresiile raționale care apar ca urmare.

Metoda 6 din 6: Raționalizați numitorul

1. 

   Forma canonică cere ca numitor fie un număr întreg, fie un polinom, dacă conține nedeterminate.
   • Dacă numitorul este format dintr-un termen dintr-un radical, cum ar fi / √ (5), înmulțiți numeratorul și numitorul cu acel radical pentru a obține * √ (5) / √ (5) * √ (5) = * √ (5) / 5.
     • Pentru rădăcini cubice sau mai mari, înmulțiți cu puterea corespunzătoare a radicalului pentru a face numitorul rațional. Dacă numitorul este √ (5), înmulțiți numărătorul și numitorul cu √ (5).
   • Dacă numitorul este o sumă sau o diferență de rădăcini pătrate, cum ar fi √ (2) + √ (6), înmulțiți numărătorul și numitorul cu aceeași expresie conjugată operatorului opus. Astfel, / (√ (2) + √ (6)) = (√ (2) -√ (6)) / (√ (2) + √ (6)) (√ (2) -√ (6)). Apoi utilizați diferența de identitate a pătratelor pentru a raționaliza numitorul, simplificând (√ (2) + √ (6)) (√ (2) -√ (6)) = √ (2) ^ 2 - √ (6) ^ 2 = 2-6 = -4.
     • Acest pas funcționează și pentru numitori precum 5 + √ (3), deoarece fiecare număr întreg este o rădăcină pătrată a unui alt număr întreg.
     • Această metodă servește pentru o sumă de rădăcini pătrate, cum ar fi √ (5) -√ (6) + √ (7). Dacă îl grupați ca (√ (5) -√ (6)) + √ (7) și înmulțiți cu (√ (5) -√ (6)) - √ (7), răspunsul dvs. nu va fi rațional, dar va fi au următoarele: a + b * √ (30), unde a și b sunt raționale. Apoi, puteți repeta procesul cu conjugatul a + b * √ (30), iar (a + b * √ (30)) (a-b * √ (30)) este rațional. Puteți utiliza acest truc o singură dată pentru a reduce numărul de radicali din numitor și, de mai multe ori, pentru a le elimina pe toți.
     • Funcționează chiar și cu numitori care conțin rădăcini mai mari, cum ar fi rădăcina cvadruplă a lui 3 plus a șaptea rădăcină a lui 9. Înmulțiți doar numeratorul și numitorul cu conjugatul numitorului. Din păcate, procesul de găsire a conjugatului numitor nu este atât de clar. Pentru a o înțelege, căutați o carte bună despre teoria numerelor algebrice.

2. 

   Acum, numitorul a fost raționalizat, dar numeratorul este o mizerie. Veți avea numărul de pornire plus de până la trei ori conjugatul numitor. Extindeți produsul așa cum ați face un produs polinomial. Vedeți dacă ceva poate fi anulat sau simplificat și combinați termeni similari, dacă este posibil.

3. 

   Dacă numitorul este un număr întreg negativ, înmulțiți numărătorul și numitorul cu -1 pentru a-l face pozitiv.

sfaturi

• Puteți căuta site-uri care vă simplifică expresia radicală. Tastați doar ecuația în radical și apăsați Enter pentru a apărea răspunsul simplificat.
• Mulți dintre pașii de mai sus nu vor fi folosiți pentru probleme simple. Pentru cele mai complicate, este posibil să fie necesară aplicarea unor etape de mai multe ori. Simplificați continuu în timp ce rezolvați problema și verificați răspunsul final pentru a vedea dacă se potrivește criteriilor canonice descrise în introducere. Dacă răspunsul este canonic, ați terminat. Atâta timp cât nu este canonic, unul dintre acești pași vă va spune ce mai trebuie făcut pentru a obține această formă.
• Majoritatea referințelor la „forma canonică preferată” a unei expresii radicale se aplică și numerelor complexe (i = √ (-1)). Chiar dacă sunt scrise cu un i în loc de un radical, evitați să lăsați i în numitor.
• O parte din instrucțiunile de mai sus presupune că toți radicalii sunt rădăcini pătrate. Principiile generale sunt aceleași pentru rădăcinile cubice sau mai mari, deși unele dintre ele, în special raționalizarea numitorului, sunt mai greu de aplicat. De asemenea, va trebui să decideți dacă doriți termeni precum √ (4) sau √ (2) (în funcție de modul în care preferă manualele dvs.).
• O parte din instrucțiuni folosește termenul „formă canonică” într-un mod greșit, când de fapt descrie doar forma normală. Diferența este că forma canonică ar necesita 1 + √ (2) sau √ (2) +1 și ar spune că cealaltă formă este inadecvată, în timp ce forma normală presupune că tu, cititorul, ești suficient de inteligent pentru a recunoaște că două numere sunt „evident aceleași”, chiar dacă nu sunt scrise în același mod. „Evident”, în acest caz, înseamnă utilizarea numai a proprietăților aritmetice, cum ar fi adunarea, care este comutativă, nu proprietăți algebrice (√ (2) este o rădăcină non-negativă a lui x). Sperăm că cititorii vor ierta acest mic abuz de terminologie.
• Dacă instrucțiunile par ambigue sau contradictorii, aplicați toți pașii consecvenți și lipsiți de ambiguitate și alegeți forma care seamănă cel mai mult cu expresiile radicale din cartea dvs.